УРОК 3

Тема. Пересечение прямой с плоскостью. Сечения многогранников

Цель урока: ознакомление учащихся с взаимным расположением прямой и плоскости в пространстве. Изучение теоремы о принадлежности прямой к плоскости. Формирование понятие сечения многогранника.

Оборудование: модели многогранников, схема “Взаимное расположение прямой и плоскости”, стереометрический набор.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Фронтальное опрашивание.

1) Сколько плоскостей определяют две прямые, которые пересекаются?

2) Сколько плоскостей определяют прямая и точка?

3) Сколько плоскостей можно провести через три прямые, имеющие общую точку?

4) Сколько плоскостей можно провести через прямую и две точки, которые не принадлежат ей?

2. Проверка правильности выполнения задачи № 6.

II. Восприятие и осознание нового материала

Теорема о принадлежности плоскости прямой, две точки которой принадлежат плоскости

Теорема.

Дано: α Сα (рис. 12).

Доказать: ВСα.

Доведение

Возьмем точку А, которая не лежит на прямой ВС (согласно аксиоме И). Через прямую ВС и точку А проведем плоскость α`.

Если плоскости α и α` совпадают, то плоскость α содержит прямой ВС (рис. 13).

Если плоскости α и α` разные, то они пересекаются по прямой а, которая содержит точки В и С (рис. 14). По аксиомой И прямые а и ВС совпадают, следовательно, прямая ВС лежит в плоскости α.

Выполнение упражнений

1. Докажите, что если вершины треугольника АВС принадлежат некоторой плоскости α, то треугольник АВС лежит в этой плоскости.

2. Докажите, что четырехугольник АВСD лежит в одной плоскости, если его диагонали АС и BD пересекаются.

3. Докажите, что четырехугольник ABCD - плоский, если продолжение двух противоположных сторон АВ и CD пересекаются.

4. Как проверить качество изготовления линейки с помощью хорошо отшлифованной плиты?

5. Задача № 9 из учебника (с. 9).

6. Задача № 11 из учебника (с. 10).

Взаимное положение прямой и плоскости

Из доказанной теоремы следует, что плоскость и прямая, не лежащая в плоскости либо пересекаются, либо не пересекаются.

Итак, возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и плоскости (схема “Взаимное расположение прямой и плоскости”):

а) плоскость α не имеет с прямой а общих точек;

б) плоскость α имеет с прямой а одну общую точку;

в) прямая а лежит в плоскости α.

Задачи.

На предметах окружающего пространства покажите различные случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Понятие сечения многогранника

В стереометрии рассматривают сечения многогранников.

Сечением многогранника называется многоугольник, который образуется при пересечении многогранника с плоскостью. Вершины этого многогранника являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника, а стороны - частями прямых пересечения секущей плоскости с его гранями.

Для построения простых сечений необходимо уметь решать две опорные задачи:

1) строить линию пересечения двух плоскостей;

2) строить точку пересечения прямой и плоскости.

Для построения линии пересечения двух плоскостей - секущей плоскости и грани многогранника - находят две точки искомой прямой и через них проводят прямую.

Выполнение упражнений

1. Дано изображение треугольной пирамиды (рис. 15). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую АВ и точку С.

2. Дано изображение куба (рис. 16). Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через прямую АВ и точку С.

3. В треугольной пирамиде SABC все ребра равны 10 см. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AS и точку Μ - середину ребра ВС. Найдите периметр построенного сечения.

4. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через диагональ ВD верхней основы и точку Μ - середину ребра АА1. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно 10 см.

III. Домашнее задание

§1, π. 3; контрольный вопрос № 4; задача № 10 (с. 9).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Что можно утверждать о прямой, две точки которой принадлежат данной плоскости?

2) Точки А и В принадлежат плоскости α, а точка С лежит вне плоскости α. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) прямая АС лежит в плоскости α;

б) прямая СВ не лежит в плоскости α;

в) прямая АВ лежит вне плоскости α;

г) прямая АВ лежит в плоскости α.