Часть 5 АТОМНАЯ ФИЗИКА

Раздел 15 СТРОЕНИЕ АТОМА

15.5. Квантование гідрогеноподібних ионов

Гідрогеноподібні ионы - это ионы, вокруг ядер которых вращается только один электрон. К ним относятся йонізований гелий, дважды йонізований литий, трижды йонізований бериллий, четыре раза ионизированный бор и т. д. Рассмотрим, с точки зрения теории Бора, происхождение спектров этих атомов, состоящие из положительно заряженного ядра и одного электрона, который вращается вокруг ядра. Под влиянием притяжения ядра, которое обратно пропорционально квадрату расстояния между ядром и электроном, электрон должен двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого расположено ядро. Однако в противовес классической электродинамике электрон при этом не должен излучать свет. На рис. 15.6 изображен такие орбиты: К(n = 1), L(n = 2), М (n = 3), N (n = 4), Q(n = 5). В первом приближении орбиты можно считать круговыми. Когда электрон переходит с внешней орбиты на внутреннюю, например с 4-й на 2-ю или с 3-й на 1-ую, то сила притяжения к ядру выполняет работу так же, как сила притяжения Земли при падении тела на нее. Часть этой работы идет на увеличение кинетической энергии электрона, поэтому его скорость на внутренний орбите больше, чем на внешний.

Рис. 15.6

Остальные энергии преобразуется в энергию излучения. Если электрон достигнет ближайшей к ядру орбиты, то он уже не сможет больше приближаться к ядру и, следовательно, не сможет излучать свет, пока снова не будет переведен на одну из внешних орбит. Это происходит только при поглощении достаточного количества энергии извне. Ближайшая к ядру внутренняя орбита соответствует равновесному основном или нормальному состоянию атома; все другие орбиты соответствуют возбужденным состояниям атома.

Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. Если Z = 1, то такая система соответствует атому водорода, если Z > 1 - гідрогеноподібному иону. Для упрощения расчетов будем считать, что движение электрона происходит по круговой орбите. При этом на электрон будет действовать центростремительная сила, роль которой играет сила кулоновского взаимодействия между электроном и ядром. Тогда в системе СГСЭ

где m - масса электрона; е - его заряд; υ - скорость движения по орбите радиуса r_n.

Одновременно с равенством (15.12) имеет выполняться условие стационарности орбиты (15.11). Решив систему уравнений (15.11) и (15.12), можно определить скорость движения электрона по стационарной орбите

и ее радиус

Для определенного химического элемента все величины дело - стали, меняться может только n. Следовательно, радиус стационарной орбиты меняется скачкообразно, поскольку n = 1, 2, 3,.... Из формулы (15.14) следует, что радиус ближайшей к ядру орбиты (n = 1) в атоме водорода (z = 1) будет

Подставляя в (15.15) значения h, m и е, найдем, что радиус первой возможной орбиты в атоме равна 0,529 ∙ 10^-10 м. Это значение соответствует размерам атома водорода, которые найдены из кинетической теории газов.

Согласно теории Бора энергия, излучается или поглощается атомом, равна разности между энергиями стационарных состояний атома. Поэтому для проверки теории Бора целесообразно было бы сравнить рассчитанные значения разности энергий стационарных состояний с энергией, что излучается атомами.

Энергия атома водорода или гідрогеноподібного иона состоит из потенциальной энергии взаимодействия между ядром и электрона и кинетической энергии электрона, движущегося вокруг ядра.

Потенциальную энергию можно найти, исходя из того, что работа электрической силы притяжения при перемещении электрона с орбиты радиуса r_n на бесконечность равна его потенциальной энергии E_n. Действительно,

Тогда

Учитывая соотношение (15.12), получим выражение для кинетической энергии электрона

Полная энергия атома будет

или, учитывая значение r_n из (15.14), имеем

Знак минус в соотношении (15.19) обусловлен тем, что потенциальная энергия двух зарядов, которые бесконечно удаленные друг от друга, равна нулю. При приближении зарядов друг к другу потенциальная энергия уменьшается, причем она уменьшается быстрее, чем растет кинетическая энергия. Поэтому вычисленное значение полной энергии Е будет отрицательным. Поскольку полная энергия атома является величиной отрицательной, то большему значению полной энергии отвечает меньше ее абсолютное значение, т. е. с увеличением радиуса орбиты (увеличением квантового числа) будет расти энергия атома.

Для атома водорода (Z = 1) соотношение (15.19) вступает вид

Согласно теории Бора атомы водорода випромінюватимуть кванты света, если будет осуществляться переход от стационарных состояний с большей энергией в стационарные состояния, которым соответствуют меньшие значения энергии. При этом частота излучения света определяется соотношением

где Е_n - энергия начального стационарного состояния; Е_l - энергия конечного стационарного состояния.

Подставляя в (15.21) выражение (15.20), который определяет энергию стационарного состояния, получим

Найденный результат идентичен обобщенной формуле Бальмера (15.9), причем стала Ридберга определяется соотношением

Если подставить в это выражение значение универсальных констант, то можно получить значение постоянной Ридберга, которое с высокой степенью точности совпадает с ее экспериментальным значением.

В теории Бора становится понятной природа спектральных серий. Спектральные серии - это монохроматические излучения, возникающие в результате перехода атома в определенное состояние (с определенным значением квантового числа) из всех возможных возбужденных состояний. Так, серия Лаймана соответствует переходам из возбужденных состояний с квантовыми числами n > 1 в нормальный, характеризующееся квантовым числом l = 1. Поскольку в этом случае все переходы происходят на самый низкий уровень, то разница термов, что соответствует этому уровню и уровню, с которого происходит переход, будет относительно большим, поэтому и излучаемую кванты будут иметь большую частоту. Как отмечалось, серия Лаймана относится к ультрафиолетовой части спектра. Серия Бальмера, что содержится в видимой части спектра атома водорода, образуется вследствие переходов электрона на орбиту, для которой l = 2, с орбит с квантовыми числами n > 2. Аналогично можно объяснить происхождение других серий В спектре атома водорода. При этом соответствующие расчеты приводят к результатам, которые хорошо согласуются с экспериментом.

Итак, теория Бора объяснила спектральный состав и механизм возникновения спектральных линий атома водорода и гідрогеноподібних ионов, раскрыла физический смысл чисел l и n. Однако, исходя из нее, невозможно построить теорию атома гелия, который в периодической таблице Д. И. Менделеева расположен непосредственно за гідрогеном. Это была первая крупная неудача, постигшая теория Бора.

Для определения энергии стационарных состояний Н. Бор пользовался обычными средствами классической механики, но это при квантовом смысле исходных постулатов придавало теории Бора половинчатого характера, лишало ее внутренней последовательности.

Позже, в 20-х годах, Е. Шредингер, В. Гейзенберг, М. Борн, П. Дирак развили более точную квантовую теорию, создали квантовую механику.