УРОК 1

Тема. Основе понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Цель урока: обобщение сведений об пространственные фигуры. Изучения аксиом стереометрии.

Оборудование: стереометрический набор, модели многогранников, схема "Аксиомы стереометрии".

Ход урока

И. Обобщение и систематизация знаний учащихся

Пространственные геометрические фигуры

В 7-9 классах вы познакомились с планіметрією. Планиметрия - это раздел геометрии, в котором изучают свойства плоских геометрических фигур: треугольников, параллелограммов, окружностей и т.д.

Но кроме плоских фигур существуют и пространственные фигуры: прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр, конус, шар. Много окружающих нас предметов имеют форму прямоугольного параллелепипеда: классная комната, кирпич, спичечная коробка и т.д. Популярная во всем мире игрушка - кубик Рубик - имеет форму куба. Хорошо известные пирамиды Древнего Египта дают нам представление о широкий класс геометрических тел, которые называются пирамидами.

В курсе черчения и математики 5 - 6 классов вы учились строить изображения этих пространственных фигур. На рис. 1 изображен прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед - это пространственная геометрическая фигура, ограниченная шестью прямоугольниками, которые называются гранями. Стороны прямоугольников называются ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Задачи.

Назовите вершины, ребра, грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. 1.

Куб - это прямоугольный параллелепипед, у которого все шесть граней квадрата (рис. 2).

Задачи.

Назовите переднюю, заднюю, левую, правую, верхнюю, нижнюю грани куба, изображенного на рис, 2.

Верхнюю и нижнюю грани прямоугольного параллелепипеда называют основами, а ребра этих граней - ребрами основания, другие ребра называют боковыми ребрами, а остальные грани - боковыми гранями.

Задачи.

Назовите боковые ребра прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 1) и куба (см. рис. 2).

n-угольной пирамидой называется геометрическое тело, ограниченное n-угольником (который называется основанием пирамиды) и n треугольниками (боковыми гранями) с общей вершиной (которая называется вершиной пирамиды). На рис. С изображен треугольную пирамиду, которую еще называют тетраэдром, на рис. 4 - четырехугольную пирамиду.

Задачи.

Назовите основания, боковые грани, боковые ребра, ребра основания, вершины пирамид, изображенных на рис. 3 и 4.

Параллелепипеды и пирамиды - это представители большого класса геометрических фигур, которые называются многогранниками. Кроме многогранников в геометрии рассматривают и другие пространственные фигуры: цилиндры, конусы, шары и т.п.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, называется стереометрією.

В 10 и 11 классах мы будем изучать свойства пространственных фигур.

II. Восприятие и осознание нового материала

Основные понятия стереометрии

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

Представление о точки и прямые вы имеете из курса планиметрии. Напомним, что точки обозначаются большими латинскими буквами, например, точки А, В, С...; прямые обозначаются строчными латинскими буквами, например, прямые а, b, с..., или двумя заглавными буквами, например, АВ, ВС, CD... Материальными моделями части плоскости, например, поверхность стола, поверхность оконного стекла, поверхность мраморной плиты и т.д. В геометрии плоскость мыслят неограниченной, идеально ровной и гладкой.

Изображают на плоскости в виде параллелограмма (рис. 5) или в виде произвольной области (рис. 6).

Обозначают плоскости греческими буквами, например, α, β, γ... На рис. 5 изображена плоскость α на рис. 6 - плоскость β. Грани многогранников - это части плоскостей.

Как и любая геометрическая фигура, плоскость состоит из точек. Если точка А лежит в плоскости α, говорят, что плоскость α проходит через точку А, и записывают: А α. Если точка А не лежит в плоскости α, говорят, что плоскость α, не проходящей через точку А, и записывают: Аα.

Если каждая точка прямой а лежит в плоскости α, говорят, что прямая а лежит в плоскости α, или плоскость α проходит через прямую а, и записывают: а α. Запись α означает, что прямая а не лежит в плоскости α.

Задачи.

Постройте и запишите с помощью символов:

а) плоскость α и точка А, лежащая в ней;

б) плоскость α и точка В, не лежащая в ней;

в) плоскость β, которая проходит через прямую а;

г) плоскость γ и прямую а, которая не лежит в плоскости γ;

д) две плоскости α и β, которые проходят через прямую с.

Аксиомы стереометри

Как и в планиметрии, свойства основных фигур в стереометрии выражаются аксиомами.

Напомним, что в планиметрии свойство прямых и точек выражалась аксиомой:

Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, и точки, ей не принадлежащие.

Например, на рис. 3 точки А и В принадлежат прямой АВ, а точки S и С ей не принадлежат.

Взяв какую-либо плоскость (например, плоскость пола классной комнаты), мы можем указать точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, ей не принадлежащие. Поэтому одним из свойств плоскости аксиома С1:

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Задачи.

Пользуясь изображением куба на рис. 2, укажите точки, которые:

а) не относятся передней грани;

б) принадлежат верхней грани;

в) принадлежат грани ABCD;

г) не принадлежат грани А1В1ВА.

Рассмотрим вторую аксиому стереометрии С2:

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Наглядной иллюстрацией этой аксиомы является пересечение двух стен, стены и пола классной комнаты.

Задачи.

Пользуясь рис. 1, укажите:

а) общие точки верхней и передней граней;

б) прямую пересечения плоскостей задней и нижней граней;

в) общие точки плоскостей граней АВВ1А1, и Α1Β1С1D1;

г) прямую пересечения плоскостей граней Α1Β1С1D1 и ВВ1С1С.

Никаких инструментов, которыми можно было бы проводить в пространстве плоскости, нет. Поэтому выражение «можно провести плоскость» употребляется в смысле «существует плоскость».

Третья аксиома стереометрии С3 утверждает:

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну.

Задачи.

1. Пользуясь рис. 1, укажите, какую плоскость определяют прямые:

а) АВ и АD;

б) BС и СС1;

в) DC и СС1;

г) А1В1 и В1А.

2. Пользуясь изображением куба на рис. 2, докажите, что можно провести плоскость через прямые:

а) АС и СС1;

б) AD и DC1.

3. Чтобы поверхность распила четырехугольной балки (рис. 7) была плоской, столяр сделал так; обозначил на ребре балки точку А и провел от нее в нужном направлении два отрезка АВ и АС в смежных гранях балки, затем направил пилу по намеченным отрезках. Объясните, должна образоваться плоская поверхность распила.

4. Столяр с помощью двух нитей проверяет, лежат ли концы четырех ножек стула в одной плоскости. Как он это делает?

Следует отметить, что в пространстве существует множество плоскостей, и для каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того признаки равенства и подобия треугольников справедливы и для треугольников, которые лежат в разных плоскостях.

III. Закрепление и осмысление знаний учащихся

Решение упражнений

1. Докажите, что вершины параллелограмма АВСD лежат в одной плоскости.

2. Даны две прямые а и b, через которые нельзя провести плоскость. Докажите, что эти прямые не пересекаются.

3. Докажите, что две прямые в пространстве могут пересекаться более чем в одной точке.

4. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

5. Могут ли три плоскости иметь только одну общую точку?

6. Через точку проведены три прямые, которые не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти прямые, беря их попарно?

7. Задача .№ 2 из учебника (с. 9).

8. Задача № 5 из учебника (с. 9).

IV. Домашнее задание

§1, п. 1; контрольные вопросы № 1,2; задачи № 1, 3 из учебника

V. Подведение итога урока

При подведении итога урока можно воспользоваться данной схемой.